【数学】人間は亀より遅い?三択は選び直した方が良い?〜数学のパラドックス〜

こんにちは。みやうち塾広報担当です!

今回はちょっと変わった角度から勉強の面白さを感じていただければと思います。

テーマは「数学のパラドックス」です!

有名な話を集めましたのでご存知の問題もあるかもしれませんがご了承ください。

 

 

人間は亀より遅い?

‪有名なパラドクスです

アキレスと亀が徒競走します。

亀の方が遅いのでハンデとして50m先からスタート。‬
‪アキレスが亀のスタートした50m先に着く頃に、亀は5m先に進んでいるとします(アキレスのスタートから55m先)‬

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‪その後アキレスは5m進んで亀に追いつこうとしますが、亀は更に50cm進んでいるわけです…‬
‪これを繰り返すと、アキレスは亀に追いつけないという理論ですが、どこがおかしいでしょうか?‬

 

【解説】 

これはアキレスが追いつくまでの経緯を考えているので、あたかも追いつかないかの様に感じます。

アキレスと亀の速さと、ゴールを設定し、ゴールにたどり着くまでの時間を計算するとアキレスが追い越すタイミングを容易に計算する事ができます。(計算に関する詳しい解説は省略させていただきます)



三択は選び直した方がいい?

テーブルに3つのカップがあり、1つにコインが入っています。

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コインが入っているカップを当てたら勝ちです。

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3つのカップから1つを選んだ後で、

選んでない2つのカップから、コインの入っていないカップを1つだけ取り除きます。

つまり、あなたが最初に選んだカップと、取り除かれなかったカップの2つがテーブルに残ります。

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2つ残ったカップからもう一度選び直しても良いとします。

さて、この時あなたは最初に選んだカップからもう1つの方に選び直した方が良いでしょうか?

 

答えは「選び直した方が良い」です。

 

【解説】

 一見どれを選んでも1/3で同じように感じます。

しかし、それぞれの選択肢の確率をみていくと違いが出てきます。

 

まず、最初に選ぶカップにコインが入っている確率は単純に1/3です。

そして、選び直したカップにコインが入っている確率ですが、これは1/3ではありません。

選び直したカップにコインが入っているためには、最初にコインの入っていないカップを選んでいる必要があります。コインの入っていないカップを選んでいれば、取り除く時にコインの入っているカップが残るからです。逆に、最初に選んだものにコインが入っている場合、選び直す時にコインの入っていないカップを選ぶことになります。

最初にコインの入っていないカップを選ぶ確率は2/3です。 故に選び直した時にコインが入っている確率も2/3なのです。

この理由から選び直した方が良いという結論になるのです。

 

 

男の子の確率は低い?

“ある家族に二人の子供がいます。片方の子供は男の子だという事が分かっています。

この状況の時、もう一人の方の子供の性別が男の子である確率を求めよ。”

 

という問題です。

男の子か女の子でしかないか1/2と答えたくなるところですね。

 

答えは1/3です。

 【解説】

これは「兄弟の少なくとも一方が男である」ことが分かっている状態で「もう一方が男である確率は?」という問題です。
つまり、「兄弟の少なくとも一方が男である、という前提のもとで、二人兄弟が両方共女である確率を求めよ」という問題に言い換えることができます。

考えられるパターンは

①長男ー次女

②長女ー次男

③長男ー次男

であり、一方が男で、もう一方が男であるのは③だけなのです。
しかし、問題文を読んだ時に「二人兄弟が両方共男である確率を求めよ、という問題」と理解することが難しい、ややこしい問題ですね。

 

円は浮いている?

これは私が小学生の時にずっと不思議に思っていたことです。

完全な「円」があるとします。

その円が真っ平らな直線の上に置いてあります。

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イメージ図


このようになりますね。当たり前ですが、接点があります。

この赤で囲んだ接点付近を拡大していきます。

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接点付近を拡大

赤で囲われている部分をさらに拡大していきます。

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さらに拡大した図

接点は黒い部分に存在するのか?と思ってまた拡大してみます。

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もっと拡大した図

このように拡大しても、永遠に隙間が存在し続けるのです。

当時の私は「点」を理解することができず、円は浮いていると思っておりました(笑)

実際には「点」に長さが無いのでこのような事が起きます。

 

 

 

他にも数多くあります

このような数学の一見不思議な問題は数多くあります。

数学に行き詰った時はこのような面白い問題で息抜きも良いかもしれません。

 

 

 

終わり

 

みやうち塾広報担当